Coloca las pechugas de pollo en una olla grande, cubre con agua salada y lleva a ebullición. Reduce el fuego y hierve a fuego lento durante 20-25 minutos hasta que la temperatura interna alcance 74°C. Retira, deja enfriar ligeramente, luego desmenuza con dos tenedores.

Asa los chiles poblanos directamente sobre una llama de gas o bajo la parrilla del horno, girándolos frecuentemente hasta que estén carbonizados por todos lados, aproximadamente 8-10 minutos. Coloca en un tazón, cubre con plástico durante 10 minutos, luego pela, desemilla y pica aproximadamente.

Precalienta el horno a 190°C. Engrasa ligeramente un refractario de 9x13 pulgadas.

Calienta el aceite de oliva en una sartén grande a fuego medio. Sofríe la cebolla hasta que esté suave, aproximadamente 5 minutos. Agrega el ajo y cocina durante 1 minuto hasta que aromático.

Añade los poblanos asados, crema agria, caldo de pollo, queso crema, comino, orégano, sal y pimienta a la sartén. Revuelve a fuego medio-bajo hasta que el queso crema se derrita y la salsa esté suave, aproximadamente 5 minutos.

Transfiere la mitad de la salsa cremosa de poblano a una licuadora y licúa hasta que esté suave. Regresa a la sartén y revuelve para combinar.

Mezcla el pollo desmenuzado con 120g de queso Monterey Jack y 120ml de la salsa cremosa en un tazón.

Coloca aproximadamente 3 cucharadas de la mezcla de pollo en el centro de cada tortilla. Enrolla firmemente y coloca con la costura hacia abajo en el refractario preparado.

Vierte la salsa cremosa de poblano restante uniformemente sobre las enchiladas. Cubre con el queso Monterey Jack restante.

Hornea sin cubrir durante 20-25 minutos hasta que el queso se derrita y los bordes burbujeen.

Deja reposar durante 5 minutos antes de servir. Decora con cilantro fresco y cebollas verdes rebanadas.